38. La Elipse

 

¡Buen día chicos! 🌟

Tu vida y tus capacidades no se hicieron para quedarse enterradas en el miedo, sino para multiplicarse y brillar. 🎯

✏ Escribe lo siguiente en tu cuaderno 📖

LA ELIPSE

La elipse es una figura geométrica que se puede definir como el conjunto de todos los puntos en el plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante. 

Ecuación de la Elipse

Identifica la orientación de la elipse:

• Horizontal: La elipse es horizontal si su eje mayor está en la dirección x. Usa la forma: 

 (a > b)

• Vertical: La elipse es vertical si su eje mayor está en la dirección y. Usa la forma: 

 (a > b)

Donde:

• $a$ es el semieje mayor (la mitad de la longitud del eje más largo).
• $b$ es el semieje menor (la mitad de la longitud del eje más corto).

Características de la Elipse

Focos: Los dos puntos fijos (focos) de la elipse están ubicados a una distancia $c$ del centro, donde:

$$$$

Ejes:

• Eje mayor: El eje más largo de la elipse, que pasa por los focos.
• Eje menor: El eje más corto, perpendicular al eje mayor en el centro.

Perímetro: No hay una fórmula simple para calcular el perímetro de una elipse, pero se puede aproximar usando la siguiente fórmula de Ramanujan:

Ejemplo:

Ecuación de la elipse:

$$\frac{(x+3{)}^{}}{}$$^2 / 36 + (y−2)^2 / 16 = 1

Pasos para encontrar todos los elementos:

1. Identificar la forma de la ecuación: La ecuación está en la forma estándar:

$$\frac{(x-h{)}^{}}{}$$^2 / a^2 + (y−k)^2 / b^2 = 1

Aquí,  $a^2 = 36$

$$           b^2 = 16.

2. Determinar la orientación:

El término con $a^2$ está junto a $(x+3{)}^{}$^${\mathrm{2,}}^{}$ lo que indica que la elipse es horizontal porque a^2 > b^2

3. Encontrar el centro: El centro $(h,k)$ se obtiene de la ecuación

h = −3 

k = 2 

Así, el centro es $(-3, 2)$

4. Calcular los semi-ejes:

• Semi-eje mayor $a$: $$a$$^2 = 30 a = 6

• Semi-eje menor $b$: $$b$$^2 = 16 b = 4

5. Encontrar los extremos de los ejes:

Extremos del eje mayor (horizontal): Se encuentran sumando y restando $a$ al centro:

Extremos: $(-3 - 6, 2) = (-9, 2)$ y $(-3+6,2) = (3,2)$

Extremos del eje menor (vertical): Se encuentran sumando y restando $b$ al centro:

Extremos: $(-3, 2 - 4) = (-3, -2)$ y $(-3, 2 + 4) = (-3, 6)$

Focos de la elipse

Los focos de una elipse son dos puntos que se encuentran a lo largo del eje mayor (el eje que tiene la longitud mayor, aaa), a una distancia ccc del centro. La distancia ccc se calcula usando la siguiente fórmula:

Si a > b, la elipse es horizontal, y los focos se encuentran en los puntos (c,0)(c, 0) y (−c,0)(-c, 0) sobre el eje x.

Si a < b, la elipse es vertical, y los focos se encuentran en los puntos (0,c)(0, c) y (0,−c)(0, -c) sobre el eje y.

👀 Presta atención al siguiente video👂

💜 Muchos éxitos para todos, feliz día 🎊