noviembre 07, 2024

FACTORIZACIÓN: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

 

Buenos días niños, espero tengan un lindo día lleno de aprendizajes.


7 de noviembre del 2024

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

El método de la diferencia entre dos cuadrados es una forma fácil de factorizar un polinomio que involucre la resta de dos cuadrados perfectos. Con la fórmula , tan solo debes encontrar la raíz cuadrada de cada cuadrado perfecto en el polinomio y reemplazar esos valores en la fórmula. El método de la diferencia entre dos cuadrados constituye una herramienta básica en el álgebra que es probable que utilices con frecuencia al resolver ecuaciones.




Ejercicios de Factorización por Diferencia de Cuadrados:

  1. x29x^2 - 9

  2. 4x2254x^2 - 25

  3. 16y216 - y^2

  4. 49a236b249a^2 - 36b^2

  5. 81m264n281m^2 - 64n^2

  6. 100x21100x^2 - 1

  7. 9a225b29a^2 - 25b^2

  8. 64x24964x^2 - 49

  9. 121y216121y^2 - 16

  10. 144x281y2144x^2 - 81y^2

  11. 49x29y249x^2 - 9y^2

  12. 25a210025a^2 - 100

  13. 36x216y236x^2 - 16y^2

  14. 256m281n2256m^2 - 81n^2

  15. 49x2149x^2 - 1


El aprendizaje es un tesoro que nadie puede arrebatarte. ¡Gracias por permitirme ser parte de tu viaje! Nos vemos la próxima clase...💚  


FUNCIÓN EXPONENCIAL

Buenos días niños, espero tengan un lindo día lleno de aprendizajes.


7 de noviembre del 2024


FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial es una de las funciones matemáticas más importantes y comunes en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería. Su forma general es:


f(x)=abxf(x) = a \cdot b^x

Donde:

  • aa es una constante que escala la función (puede afectar la amplitud o el valor inicial de la función).
  • bb es la base de la función exponencial (con b>0b > 0 y b1b \neq 1).
  • xx es la variable independiente (puede tomar cualquier valor real).

Características principales de la función exponencial:

Crecimiento o decrecimiento:

    • Si b>1b > 1, la función crece de forma exponencial a medida que xx aumenta.
    • Si 0<b<10 < b < 1, la función decrece a medida que xx aumenta.


Ejemplo: Crecimiento poblacional de bacterias

Imagina que tenemos una colonia de bacterias que se duplica cada hora, y comenzamos con 500 bacterias. Queremos graficar el crecimiento de la población de bacterias durante 6 horas.

Fórmula de crecimiento exponencial:

Como vimos, el crecimiento de la población de bacterias sigue la fórmula:

N(t)=N02t

Donde:

  • N(t)N(t) es el número de bacterias en el tiempo tt.
  • N0=500N_0 = 500 es el número inicial de bacterias.
  • tt es el tiempo en horas.
  • La población se duplica cada hora, por lo que la base es 2.

Paso 1: Calcular el número de bacterias en diferentes momentos

Vamos a calcular el número de bacterias para cada hora desde t=0t = 0 hasta t=6t = 6

Hora tt     Número de bacterias N(t)N(t)
0  50020=500500 \cdot 2^0 = 500
150021=1000500 \cdot 2^1 = 1000
250022=2000500 \cdot 2^2 = 2000
350023=4000
450024=8000500 \cdot 2^4 = 8000
550025=16000500 \cdot 2^5 = 16000
650026=32000500 \cdot 2^6 = 32000

Paso 2: Graficar los datos.

Realiza un plano cartesiano positivo y grafica el tiempo en el eje x y el número de bacterias en el eje y.


ACTIVIDAD

  • Imagina que estás cultivando una población de hongos en un ambiente controlado. Supongamos que la población inicial de hongos es de 50 hongos y la población se duplica cada 3 días. Queremos saber cuántos hongos habrá después de 9 días.
  • Imagina que estás estudiando el decaimiento de la concentración de un medicamento en el cuerpo después de su administración. Supongamos que la concentración inicial del medicamento en la sangre es de 100 mg y el medicamento se descompone de forma exponencial. El factor de descomposición es de 0.8, queremos calcular cuánta cantidad del medicamento queda en el cuerpo después de 5 horas.

  • Imagina que estás estudiando una población de virus que se duplica cada 6 horas en un ambiente cerrado. La cantidad inicial de virus en el cultivo es de 200 virus. Queremos calcular cuántos virus habrá después de 24 horas.


El aprendizaje es un tesoro que nadie puede arrebatarte. ¡Gracias por permitirme ser parte de tu viaje! Nos vemos la próxima clase...💚  


noviembre 05, 2024

55. CONVERSIÓN DE FRACCIONES- 1

   

¡Mis pulguitas buenos días! Que Papito Dios con todo su amor nos acompañe siempre.

Continuemos aprendiendo acerca de las fracciones.

✏ Escribe en tu cuaderno 📖

Noviembre 5 de 2024


👀 Presta atención 👂







👼 QUE EL BUEN DIOS TE BENDIGA Y TE GUARDE Y LA VIRGENCITA TE ACOMPAÑE 👼

57. LAS FRACCIONES- 1

   

¡Mis pulguitas buenos días! Que Papito Dios con todo su amor nos acompañe siempre.

Deseo que hoy y siempre haya una sonrisa dibujada en sus bellos rostros.

Mis niños, hoy comenzaremos a aprender sobre las fracciones.

👀 Presta atención 👂

✏ Escribe en tu cuaderno 📖

Noviembre 5 de 2024



👼 QUE EL BUEN DIOS TE BENDIGA Y TE GUARDE Y LA VIRGENCITA TE ACOMPAÑE 👼

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA ARITMÉTICA

 


Buenos días niños, espero tengan un lindo día lleno de aprendizajes.


5 de noviembre del 2024


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son estadísticas que resumen un conjunto de datos al describir el valor típico o representativo. Las tres medidas principales son:

MEDIA ARITMÉTICA

Para datos no agrupados:

La media es una de las medidas de tendencia central más comunes y se utiliza para calcular el promedio de un conjunto de datos.

Fórmula

Media=xin\text{Media} = \frac{\sum x_i}{n}

donde:

  • xi\sum x_i es la suma de todos los valores.
  • nn es el número total de valores.

 

Para datos agrupados:

Para datos agrupados en clases, la media se calcula usando las frecuencias:

Media=(xifi)N\text{Media} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{N}

donde:

  • xix_i es el punto medio de cada clase (la suma de los límites de clase dividida por 2).
  • fif_i es la frecuencia absoluta de cada clase.
  • NN es el total de observaciones (suma de todas las frecuencias, N=fiN = \sum f_i

Ejemplo

Imagina que tienes las siguientes clases con sus frecuencias:

Clase               Frecuencia   (fif_i)                Punto Medio (xix_i)
1-10                     5                          5.5
11-20                    10                                             15.5
21-30                    15                         25.5


Cálculo de la Media:

  • Multiplicamos el punto medio por la frecuencia:

    • 5.55=27.55.5 \cdot 5 = 27.5
    • 15.510=15515.5 \cdot 10 = 155
    • 25.515=382.525.5 \cdot 15 = 382.5
  • Sumamos esos productos:

    (xifi)=27.5+155+382.5=565\sum (x_i \cdot f_i) = 27.5 + 155 + 382.5 = 565
  • Sumamos las frecuencias:

    N=5+10+15=30N = 5 + 10 + 15 = 30
  • Finalmente, calculamos la media:

    Media=5653018.83


  • La mediana es el valor intermedio de un conjunto de datos, es decir, la mitad de los valores son mayores y la mitad son menores que la mediana. Se representa con el símbolo Me


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    REGLA DE TRES: SIMPLE DIRECTA


    Buenos días niños, espero tengan un lindo día lleno de aprendizajes.


    5 de noviembre del 2024

    REGLA DE TRES: SIMPLE DIRECTA

    La regla de tres simple directa es un método que se utiliza para resolver problemas de proporcionalidad directa. Esto significa que cuando una cantidad aumenta, la otra también lo hace en la misma proporción, y lo mismo sucede cuando una cantidad disminuye.

    Pasos para aplicar la regla de tres simple directa:

    1. Identifica las cantidades: Establece las dos cantidades que están en proporción directa. Generalmente, se presentan como dos pares de valores.

    2. Escribe la proporción: Organiza la información en una proporción, donde las cantidades conocidas se colocan en una línea y las cantidades que se quieren encontrar en otra.

    3. Plantea la ecuación: Si tienes dos cantidades AA y BB que están relacionadas con CC y DD, la proporción se puede escribir como:

      AB=CD\frac{A}{B} = \frac{C}{D}
    4. Despeja la incógnita: Multiplica en cruz para encontrar el valor desconocido.

    5. Resuelve: Realiza los cálculos necesarios.

    Ejemplo:

    Si 4 manzanas cuestan 2 euros, ¿cuánto costarán 10 manzanas?

    1. Identifica las cantidades:

      • A=4A = 4 manzanas
      • B=2B = 2 euros
      • C=10C = 10 manzanas
      • ? euros
    2. Escribe la proporción:

      4 manzanas2 euros=10 manzanasD euros\frac{4 \text{ manzanas}}{2 \text{ euros}} = \frac{10 \text{ manzanas}}{D \text{ euros}}
    3. Plantea la ecuación:

      4D=2×104D = 2 \times 10
    4. Despeja DD:

      4D=204D = 20
    5. Resuelve:

      D=204=5 eurosD = \frac{20}{4} = 5 \text{ euros}

    Respuesta: Por lo tanto, 10 manzanas costarán 5 euros.


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    LA ELIPSE

     

    Buenos días niños, espero tengan un lindo día lleno de aprendizajes.


    5 de noviembre del 2024


    LA ELIPSE

    La elipse es una figura geométrica que se puede definir como el conjunto de todos los puntos en el plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante. 


    Ecuación de la Elipse

    • Identifica la orientación de la elipse:

      • Horizontal: La elipse es horizontal si su eje mayor está en la dirección x. Usa la forma: (xh)2a2+(yk)2b2=1(a>b)\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)
      • Vertical: La elipse es vertical si su eje mayor está en la dirección y. Usa la forma: (xh)2b2+(yk)2a2=1(a>b)\frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1 \quad (a > b)

    Donde:

    • aa es el semieje mayor (la mitad de la longitud del eje más largo).
    • bb es el semieje menor (la mitad de la longitud del eje más corto).


    Características de la Elipse

    1. Focos: Los dos puntos fijos (focos) de la elipse están ubicados a una distancia c del centro, donde:

      c=a2b2c = \sqrt{a^2 - b^2}
    2. Ejes:

      • Eje mayor: El eje más largo de la elipse, que pasa por los focos.
      • Eje menor: El eje más corto, perpendicular al eje mayor en el centro.
    3. Perímetro: No hay una fórmula simple para calcular el perímetro de una elipse, pero se puede aproximar usando la siguiente fórmula de Ramanujan:

      Pπ(3(a+b)(3a+b)(a+3b))P \approx \pi \left( 3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right)


    Ejemplo:

    Ecuación de la elipse:

    (x+3)236+(y2)216=1\frac{(x + 3)^2}{36} + \frac{(y - 2)^2}{16} = 1

    Pasos para encontrar todos los elementos:

    1. Identificar la forma de la ecuación: La ecuación está en la forma estándar:

      (xh)2a2+(yk)2b2=1\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1

      Aquí, a2=36a^2 = 36 y b2=16b^2 = 16.

    2. Determinar la orientación:

      • El término con a2a^2 está junto a (x+3)2(x + 3)^2, lo que indica que la elipse es horizontal porque a2>b2a^2 > b^2
    3. Encontrar el centro: El centro (h,k)(h, k) se obtiene de la ecuación:

      • h=3h = -3
      • k=2k = 2

      Así, el centro es (3,2)(-3, 2)

    4. Calcular los semi-ejes:

      • Semi-eje mayor aa: a=36=6a = \sqrt{36} = 6
      • Semi-eje menor bb: b=16=4b = \sqrt{16} = 4
    5. Encontrar los extremos de los ejes:

      • Extremos del eje mayor (horizontal): Se encuentran sumando y restando aa al centro:
        • Extremos: (36,2)=(9,2)(-3 - 6, 2) = (-9, 2) y (3+6,2)=(3,2)
      • Extremos del eje menor (vertical): Se encuentran sumando y restando bb al centro:
        • Extremos: (3,24)=(3,2)(-3, 2 - 4) = (-3, -2) y (3,2+4)=(3,6)(-3, 2 + 4) = (-3, 6)



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