Repaso: Pertenece y no pertenece

 

Mis amores hermosos feliz y bendecido día👼

💙Repasemos el tema:  pertenece y no pertenece

💙Trabajemos la gúia y  practiquemos los simbolos pertenece y no pertenece

💚Aprendamos los números del 0 al 9

Observemos👀

FUNCIONES

 Buenos Dias a todos!!

Hola a todos. Como mencionamos en clase, empezaremos a hacer un repaso de temas necesarios para nuestro curos de Calculo. El primer tema que veremos en la clase de hoy, serán las Funciones.

FUNCIÓN.

 

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango).

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

 

                          1    ®   1

                          2   ®   4

                          3   ®   9

                          4   ® 16

 

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

                           1   ®   1

                           2   ®   4

                           3   ®   9

                           4   ® 16

                           x   ®   x².

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

 

Usualmente se emplean dos notaciones:

                                           x   ®  x²      o     f(x) = x² .

 

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3² = 9. Entonces f(3) = 9.

De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a², etc.

Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

 

Conjunto X	Conjunto Y
Ángela	55
Pedro	88
Manuel	62
Adrián	88
Roberto	90

 

 Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo 2

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

                                              x  ® 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

 

Conjunto X	Conjunto Y	Desarrollo
− 2	− 1	f(−2)  = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1	1	f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1
0	3	f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3
1	5	f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5
2	7	f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7
3	9	f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9
4	11	f(4)    = 2(4)   + 3 =   8 + 3 =  11

 

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y).

Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

Representación de una función.

 

Una función puede representarse de cuatro formas:

 

i). Por medio de una tabla.

 

Ejemplo:

x (número de unidades) y (costo de operación) 0 $  50 1 $ 70 2 $ 90 3 $ 110 4 $ 130

Esta tabla es equivalente a: (0, 50), (1, 70), (2, 90), (3, 110), (4, 130)

 

 

ii). Por medio de una regla.

 

Ejemplo. Para obtener los costos de operación en el ejemplo anterior multiplique el número de unidades por $ 20 y sume al resultado $ 50.

 

iii). Por medio de una ecuación.

 

Los costos de operación en el ejemplo anterior están dados por la ecuación y = 20x + 50, donde el número de unidades está dado por x = 0, 1, 2, 3, 4, y los costos de operación están dados por la variable y.

 

iv). Por medio de una gráfica.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Buenos Dias a todos!!

Hola a todos. Como mencionamos en clase, empezaremos a hacer un repaso de temas necesarios para nuestro curos de trigonometría. El primer tema que veremos en la clase de hoy, serán las ecuaciones de segundo grado.

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado con una variable.

 

Una ecuación que pueda expresarse de la forma:

ax² + bx + c = 0,      a, b, c Î R,    a ≠ 0

 

Se llama ECUACION CUADRATICA o ECUACION DE SEGUNDO GRADO.

Ecuación completa.

Son ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0, que tienen un término en x², un término en x y un término independiente de x.

Así:

 2x² + 7x – 15 = 0     x² – 8x = – 15  Son ecuaciones completas de segundo grado.

Ecuación incompleta.

Son de la forma ax² + c  = 0 que carecen de término en x, ó

De la forma ax² + bx = 0, que carecen de término independiente.

Así:

   x² – 16 = 0          3x² + 5x = 0     Son ecuaciones incompletas de segundo grado.

Ejemplo 1.

4x² – 9 = 9x

Es una ecuación de segundo grado que puede expresarse como 4x² – 9x – 9 = 0

Ejemplo 2.

5x² – 20 = 0

Es una ecuación de segundo grado que puede expresarse como 5x² + 0x – 20 = 0

Es una ecuación incompleta, le falta el término en x.

 

Ejemplo 3.

x² – 2x = 0

Es una ecuación de segundo grado que puede expresarse como x² – 2x  + 0 = 0

Es una ecuación incompleta, le falta el término independiente de x.

 

Ejemplo 4.

– 8x² = 11

Es una ecuación de segundo grado que puede expresarse como – 8x² – 11 = 0

Es una ecuación incompleta, le falta el término en x.

 

Ejemplo 5.

3x + 15 = 0

NO ES UN ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO, porque no puede expresarse de la forma ax² + bx + c = 0.

Para ser de segundo grado, el coeficiente de x², debe ser diferente de cero.

OBSERVACIONES.

I) El conjunto solución o la solución de una ecuación de segundo grado es el conjunto de todas las soluciones o RAICES posibles de la ecuación.

II) Una ecuación de segundo grado puede tener:

a.    Una raíz real.

b.    Dos raíces reales.

c.    Dos raíces imaginarias.

Escribir cada una de las siguientes ecuaciones de la forma canónica ax² + bx + c = 0 y determinar los valores de a, b y  c.

Ejemplo 1.

– x² + 3x – 2 = 0

– x² + 3x – 2 = 0       (– 1)                           Se multiplica por (– 1)

   x² – 3x + 2 = 0                                           Forma canónica.

a = 1    b = – 3   c = 2

Ejemplo 2.

3(x – 1)² = (x – 2)²

 

3(x – 1) = (x – 2)²                                              Productos notables

3x – 3 = x² – 4x + 4                                            Transposición y reducción.

– x² + 7x – 7 = 0                                                 Multiplicación por (– 1)

   x² – 7x + 7 = 0                                                 Forma canónica.

a = 1   b = – 7    c = 7

Ejemplo 3.

 

3x(x – 1) = (x – 2)(x – 1) – x(x – 2)

3x² – 3x = x² – 3x + 2 – x² + 2x

3x² – 2x – 2 = 0

a = 3     b = – 2      c = – 2

4. CARDINAL DE UN CONJUNTO

 

HOLA NIÑOS!! ESPERO TENGAN UN GRAN DÍA

Aprendamos sobre el cardinal de un conjunto    

Escribamos en el cuadreno

Escribe en tu cuaderno la cardinalidad de cada conjunto.