LA ELIPSE

 

Buenos días niños, espero tengan un lindo día lleno de aprendizajes.

5 de noviembre del 2024

LA ELIPSE

La elipse es una figura geométrica que se puede definir como el conjunto de todos los puntos en el plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante. 

Ecuación de la Elipse

• Identifica la orientación de la elipse:

  • Horizontal: La elipse es horizontal si su eje mayor está en la dirección x. Usa la forma: $$\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)$$
    
  • Vertical: La elipse es vertical si su eje mayor está en la dirección y. Usa la forma: $$\frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1 \quad (a > b)$$
    

Donde:

• $a$ es el semieje mayor (la mitad de la longitud del eje más largo).
• $b$ es el semieje menor (la mitad de la longitud del eje más corto).

Características de la Elipse

1. Focos: Los dos puntos fijos (focos) de la elipse están ubicados a una distancia $c$ del centro, donde:

   $$c = \sqrt{a^2 - b^2}$$

2. Ejes:

   • Eje mayor: El eje más largo de la elipse, que pasa por los focos.
   • Eje menor: El eje más corto, perpendicular al eje mayor en el centro.

3. Perímetro: No hay una fórmula simple para calcular el perímetro de una elipse, pero se puede aproximar usando la siguiente fórmula de Ramanujan:

   $$P \approx \pi \left( 3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right)$$
   

Ejemplo:

Ecuación de la elipse:

$$\frac{(x + 3)^2}{36} + \frac{(y - 2)^2}{16} = 1$$

Pasos para encontrar todos los elementos:

1. Identificar la forma de la ecuación: La ecuación está en la forma estándar:

   $$\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$
   

   Aquí, $a^2 = 36$ y $b^2 = 16$.

2. Determinar la orientación:

   • El término con $a^2$ está junto a $(x + 3)^2$, lo que indica que la elipse es horizontal porque $a^2 > b^2$
     

3. Encontrar el centro: El centro $(h, k)$ se obtiene de la ecuación:

   • $h = -3$
     
   • $k = 2$
     

   Así, el centro es $(-3, 2)$
   

4. Calcular los semi-ejes:

   • Semi-eje mayor $a$: $$a = \sqrt{36} = 6$$
     
   • Semi-eje menor $b$: $$b = \sqrt{16} = 4$$
     

5. Encontrar los extremos de los ejes:

   • Extremos del eje mayor (horizontal): Se encuentran sumando y restando $a$ al centro:
     • Extremos: $(-3 - 6, 2) = (-9, 2)$ y $(-3+6,2)=(3,2)$
   • Extremos del eje menor (vertical): Se encuentran sumando y restando $b$ al centro:
     • Extremos: $(-3, 2 - 4) = (-3, -2)$ y $(-3, 2 + 4) = (-3, 6)$
       

El aprendizaje es un tesoro que nadie puede arrebatarte. ¡Gracias por permitirme ser parte de tu viaje! Nos vemos la próxima clase...💚