FUNCIÓN EXPONENCIAL

Buenos días niños, espero tengan un lindo día lleno de aprendizajes.

7 de noviembre del 2024

FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial es una de las funciones matemáticas más importantes y comunes en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería. Su forma general es:

$$$$

$$f(x) = a \cdot b^x$$

Donde:

• $a$ es una constante que escala la función (puede afectar la amplitud o el valor inicial de la función).
• $b$ es la base de la función exponencial (con $b > 0$ y $b \neq 1$).
• $x$ es la variable independiente (puede tomar cualquier valor real).

Características principales de la función exponencial:

Crecimiento o decrecimiento:

• Si $b > 1$, la función crece de forma exponencial a medida que $x$ aumenta.
• Si $0 < b < 1$, la función decrece a medida que $x$ aumenta.

Ejemplo: Crecimiento poblacional de bacterias

Imagina que tenemos una colonia de bacterias que se duplica cada hora, y comenzamos con 500 bacterias. Queremos graficar el crecimiento de la población de bacterias durante 6 horas.

Fórmula de crecimiento exponencial:

Como vimos, el crecimiento de la población de bacterias sigue la fórmula:

$$N(t)=N_0\cdot 2^t$$

Donde:

• $N(t)$ es el número de bacterias en el tiempo $t$.
• $N_0 = 500$ es el número inicial de bacterias.
• $t$ es el tiempo en horas.
• La población se duplica cada hora, por lo que la base es 2.

Paso 1: Calcular el número de bacterias en diferentes momentos

Vamos a calcular el número de bacterias para cada hora desde $t = 0$ hasta $$t=6t = 6

Hora $t$	Número de bacterias $N(t)$
0	$500 \cdot 2^0 = 500$
1	$500 \cdot 2^1 = 1000$
2	$500 \cdot 2^2 = 2000$
3	$500\cdot 2^3=4000$
4	$500 \cdot 2^4 = 8000$
5	$500 \cdot 2^5 = 16000$
6	$500 \cdot 2^6 = 32000$

Paso 2: Graficar los datos.

Realiza un plano cartesiano positivo y grafica el tiempo en el eje x y el número de bacterias en el eje y.

ACTIVIDAD

• Imagina que estás cultivando una población de hongos en un ambiente controlado. Supongamos que la población inicial de hongos es de 50 hongos y la población se duplica cada 3 días. Queremos saber cuántos hongos habrá después de 9 días.

• Imagina que estás estudiando el decaimiento de la concentración de un medicamento en el cuerpo después de su administración. Supongamos que la concentración inicial del medicamento en la sangre es de 100 mg y el medicamento se descompone de forma exponencial. El factor de descomposición es de 0.8, queremos calcular cuánta cantidad del medicamento queda en el cuerpo después de 5 horas.

• Imagina que estás estudiando una población de virus que se duplica cada 6 horas en un ambiente cerrado. La cantidad inicial de virus en el cultivo es de 200 virus. Queremos calcular cuántos virus habrá después de 24 horas.

El aprendizaje es un tesoro que nadie puede arrebatarte. ¡Gracias por permitirme ser parte de tu viaje! Nos vemos la próxima clase...💚