FUNCIÓN CUADRÁTICA

 

Buenos días niños, espero tengan un lindo día lleno de aprendizajes.

15 de octubre del 2024

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es una función matemática de la forma:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

donde:

• $a$, $b$ y $c$ son constantes, y $a \neq 0$.
• $a$ determina la abertura de la parábola (si es positiva, la parábola se abre hacia arriba; si es negativa, hacia abajo).
• $b$ y $c$ afectan la posición de la parábola en el plano.

Características:

1. Gráfica: La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
2. Vértice: El punto máximo o mínimo de la parábola, dado por las coordenadas 
   $(h, k)$, donde:
   • $h = -\frac{b}{2a}$
   • $k = f(h)$
     
3. Ejes de simetría: La parábola es simétrica respecto a la línea vertical que pasa por el vértice, 
   $x = h$
   
4. Intersecciones: Las intersecciones con el eje x se encuentran resolviendo 
   $ax^2 + bx + c = 0$ (puede tener 0, 1 o 2 soluciones) y la intersección con el eje $y$ se encuentra al evaluar $f(0) = c$.

EJEMPLO:

Veamos un ejemplo detallado para encontrar todas las características de una función cuadrática. Usaremos la función:

$f(x) = 3x^2 - 6x + 2$

1. Identificación de Coeficientes

• $a = 3$
  
• $b = -6$
  
• $c = 2$
  

2. Vértice

Para encontrar el vértice, utilizamos las fórmulas:

• $h = -\frac{b}{2a}$
• $k = f(h)$
  

Calculemos $h$:

$h = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

Ahora, sustituimos $h$ en la función para encontrar $k$:

$k = f(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1$

Por lo tanto, el vértice es $(1, -1)$.

3. Eje de Simetría

La ecuación del eje de simetría es:

$x = h = 1$

4. Intersección con el Eje $y$

Para encontrar la intersección con el eje $y$, evaluamos $f(0)$:

$f(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 2 = 2$

La intersección con el eje $y$ es $(0,\mathrm{2).}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}$

5. Intersecciones con el Eje x.

Para encontrar las intersecciones con el eje $x$, resolvemos la ecuación $f(x) = 0$

$3x^2 - 6x + 2 = 0$

Utilizamos la fórmula cuadrática:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)}$

​​ $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6}$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6}$ $x=\frac{6\pm \mathrm{3,43}}{6}$

$$x_1 = \frac{6 + 3.436}{6} = \frac{9.436}{6} \approx 1.5727$$

$$x_2 = \frac{6 - 3.436}{6} = \frac{2.564}{6} \approx 0.4273$$

Por lo tanto, las intersecciones con el eje X es:

$\left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}, 0 \right) \quad \text{y} \quad \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 0 \right)$

El aprendizaje es un tesoro que nadie puede arrebatarte. ¡Gracias por permitirme ser parte de tu viaje! Nos vemos la próxima clase...💚